等腰三角形教学设计

第1课时 等腰三角形(一)

教学目标

【知识与技能】

1.寻找生活实例中的等腰三角形,给等腰三角形下定义,探求等腰三角形的轴对称性和它的相关性质.

2.培养学生自主、合作、探究的学习方式,亲身体验“再发现”过程.

【过程与方法】

在探究过程中,增强协作交流,培养学生多角度思考问题的习惯,提高学生分析问题和解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

经历探索等腰三角形的轴对称及相关性质的过程,进一步体验轴对称的特征,发展学生的空间意识.重点难点

【重点】

等腰三角形有关性质的探索和应用.

【难点】

等腰三角形性质的验证.

教学过程

一、创设情境,导入新知

教师出示学生熟悉的人字梁屋架:

师:图中的人字架屋架的外观结构形式是什么图形?

生:等腰三角形.

师:它有什么特点呢?

学生思考.

师:我们从这节课开始学习等腰三角形的有关知识(板书课题).

二、共同探究,获取新知

教师引导学生操作:

画一个等腰三角形ABC,把边AB叠合到边AC上,这时点B与点C重合,并出现折痕AD,如图

学生操作,教师巡视指导.

师:△ADB与△ADC有什么关系?

生:全等.

师:哪些线段或角相等?

学生思考,教师参与探究.

学生口答:AB与AC相等,DB与DC相等,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.

师:AD与BC垂直吗?

生:垂直.

师:由此你能得出什么结论?

学生小组讨论.

生:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线是它的对称轴.

师:很好!这样也就是说等腰三角形的两个底角相等,简称“等边对等角”.

学生熟记.

师:你能证明这个性质定理吗?

学生交流讨论.

教师提示:你先把这个命题分解为条件和结论两部分,写出已知、求证,然后给出证明.

教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

已知:如图,△ABC中,AB=AC.

求证:∠B=∠C.

证明:取BC的中点D,连接AD.在△ABD和△ACD中,

∵

∴△ABD≌△ACD.(SSS)

∴∠B=∠C.(全等三角形的对应角相等)

三、合作交流,深化理解

师:通过全等可以看出AD和BC有什么关系呢?

生:AD垂直平分BC.

师:很好!等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边,∠BAD和∠CAD有什么关系呢?

生:相等.

师:综合上面的结论,你发现了什么?

学生思考.

共同总结:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线也是底边上的高(简称三线合一).

根据性质1,师生共同得到等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.

四、乘胜追击,学以致用

教师多媒体出示:

【例1】 已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E是底边上两点,且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数.

学生讨论方法.

教师巡视指导,然后集体订正.

解:∵AB=AC,(已知)

∴∠B=∠C.(等边对等角)

∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.

又∵BD=AD,(已知)

∴∠BAD=∠B=30°.(等边对等角)

同理∠CAE=∠C=30°.

∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE

=120°-30°-30°

=60°

【例2】 已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求∠A和∠C的度数.

师:由AB=AC,你能得到什么结论?

生:∠ABC=∠C.

师:由BD=BC=AD呢?

生:∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.

师:你能找出∠A与∠C的关系吗?你能找出∠A与∠BDC的关系吗?

生:能.∠BDC=∠A+∠ABD,又因为∠ABD=∠A,所以∠BDC=2∠A.

师:现在你知道∠A与∠C的关系吗?

生:知道.∠C=∠BDC=2∠A.

教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

解:∵AB=AC,BD=BC=AD,(已知)

∴∠ABC=∠C=∠BDC,

∠A=∠ABD.(等边对等角)

设∠A=x°,

则∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)

∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°,

∴x+2x+2x=180.(三角形三个内角和等于180°)

得x=36.

∴∠A=36°,∠C=72°.

五、课堂小结

师:今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?

学生回答.

师:你还有哪些疑问?

学生提问,教师解答.

教学反思

等腰三角形是轴对称图形,可以借助轴对称变换来研究等腰三角形的一些特征.为此,我以轴对称图形为切入点,先让学生通过折纸、猜想、验证等腰三角形的性质,然后运用全等三角形的知识加以论证,使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎,层层展开,步步深入,从而实现教学目的.善于做解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩,再进一步做一题多变、一题多问、一题多解,挖掘例题的深度和广度,扩大例题的辐面,无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的.

第2课时 等腰三角形(二)

教学目标

【知识与技能】

1.掌握等腰三角形的判定定理及推论,并能够灵活应用它进行有关的论证和计算.

2.掌握等边三角形的判定定理,并能够 灵活应用它进行有关论证和计算.

【过程与方法】

1.在探究过程中,增强协作交流,培养学生多角度思考问题的习惯,提高学生分析问题和解决问题的能力.

2.通过观察等腰三角形和等边三角形的判定定理,培养学生的观察、分析能力,发展学生的形象思维能力.

【情感、态度与价值观】

1.发展学生的动手、归纳猜想能力,培养学生的文字表达能力和几何证明能力.

2.掌握归纳思维方法,领会数学的转化思想.

3.发展学生的独立思考、勇于探索的创新精神.

重点难点

【重点】

等腰三角形的判定定理及其应用.

【难点】

等腰三角形的性质定理与判定定理的区别.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:请同学们回顾一下,等腰三角形的性质有哪些?

生:等腰三角形的两底角相等,简写为“等边对等角”.

师:这个命题的逆命题是什么?

生:等角对等边.

师:这是个真命题吗?我们今天就来研究这个问题.

二、共同探究,获取新知

师:作出图形,根据图形,在△ABC中,∠C=∠B,AB=AC吗?

学生讨论交流、思考回答.

教师让学生作一个有两个角相等的三角形,量一量它们所对的边.

师:你发现了什么结论?

生:AB=AC.

师:为什么?

生:在△ABC中,过点A作∠A的平分线交BC于点D,则顶角被平分,又两底角相等,由三角形内和性质得∠ADB=∠ADC.沿直线AD折叠,点B与点C重合,因此AB=AC.

师:很好,这就是等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称等角对等边).

学生熟记.

师:大家想一下,三个角都相等的三角形是什么三角形?

学生思考,教师点拨:分别与邻边相等.

生:三个角都相等的三角形是等边三角形.

师:有一个角是60°的等腰三角形是什么三角形呢?

生:有一个角是60°的等腰三角形是等边三 角形.

师:在证明中,由△ABD≌△ACD我们能得到什么?

生:BD=DC,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.

师:这说明了什么?

学生思考后回答:说明AD既是中线,又是角平分线,还是高.

师:对,同学们观察得很仔细.所以我们能得到等腰三角形的又一性质:等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.换句话说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一.

学生熟记.

三、合作交流,深化理解

教师多媒体出示:

学生小组合作分析.

师:BC和BD是什么关系?

生:BC等于BD的一半.

师:BC和AB是什么关系呢?

生:BC等于AB的一半.

师:你可以得到什么结论?

生:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.

师:同学们能给出证明吗?

生:能,如上图所示,易证得△ACD≌△ACB,∴AD=AB,∠BAC=∠DAC=30°,∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB,BC=BD=AB,故得证.

师:很好!下面我们再来看一个题目.

求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.

已知:如图(1),在Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.

证明:在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C',使点A和点A'、点C和点C'重合,点B和点B'在AC的两侧,如图(2).

(1) (2)

∵∠BCB'=90°+90=180°,(等式性质)

∴B、C、B'三点在一条直线上.(平角的定义)

在△ABB'中,

∵AB=AB',(已知)

∴∠B=∠B'.(等边对等角)

在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,

∵

∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.(AAS)

四、讲解例题,加深认识

教师多媒体出示:

【例】 如图,一艘船从A处出发,以每小时10n ile(海里)的速度向正北航行,从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8:00从A处出发,10:00到达B处,从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.

学生交流讨论.

师:根据哪些信息来确定它的位置呢?

生:根据“在A处测得礁石C在北偏西30°的方向”和“从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上”这两句.

师:然后你怎样找出礁石C的位置呢?

生:以B为顶点,向北偏西60°作角,这角一边与AC交于点C,则C点就是礁石C的位置.

师:很好.

教师引导学生思考作答,然后集体订正.

五、课堂小结

师:今天你学习到了什么内容?有什么收获?

学生回答.

教学反思

本节课我先让学生复习了上节课学习的等腰三角形的性质定理,然后让他们说出它的逆定理,由判断它的真假引出本节课,增强学生的好奇心和求知欲.在教法设计上,我把重点放在了逐步展示知识的形成过程上,由个别现象到一般抽象,体现出了学生从感性认识到理性认识发生发展的认知过程.在教学过程中,注意引导学生对解题思路和方法进行总结,渗透化归思想与分类讨论数学思想,注意培养学生形成积极探索主动学习的态度,充分体现数学教学主要是数学活动的教学,促进学生之间的合作、交流意识,培养学生的语言表达能力,增强小组合作意识.

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