函数的定义域教学设计

一. 教学内容：

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性

二. 教学目标：

理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。

三. 教学重点：函数性质的运用．

四. 教学难点：函数性质的理解。

［学习过程］

一、知识归纳：

1. 求函数的解析式

（1）求函数解析式的常用方法：

①换元法（ 注意新元的取值范围）

②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

③整体代换（配凑法）

④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）

（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

2. 求函数的定义域

求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

3. 求函数值域（最值）的一般方法：

（1）利用基本初等函数的值域；

（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；

（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如 型的函数）

（4）函数的单调性：特别关注 的图象及性质

（5）部分分式法、判别式法（分式函数）

（6）换元法（无理函数）

（7）导数法（高次函数）

（8）反函数法

（9）数形结合法

4. 求函数的单调性

（1）定义法：

（2）导数法：

（3）利用复合函数的单调性：

（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：

①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；

③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；

（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等

（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

5. 函数的奇偶性

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（－x）的关系。f（x） －f（－x）＝0 f（x） ＝f（－x） f（x）为偶函数；

f（x）+f（－x）＝0 f（x） ＝－f（－x） f（x）为奇函数。

判别方法：定义法，图象法，复合函数法

应用：把函数值进行转化求解。

6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期。

其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

二、典型例题分析

例1. 若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2} 求从集合A到集合B的映射的个数。

分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N＝222＝8个。

例2. 线段|BC|＝4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|＝y，|AB|＝x，求y＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域。

解：1若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，

x2＝22+y2－4ycosAMB ①

（6－x）2＝22+y2－4ycos（180－AMB） ②

①+② x2+（6－x）2＝2y2+8 y2＝x2－6x+14

又 x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，

又三点A、B、C能构成三角形

1＜x＜5

2若三点A、B、C共线，由题意可知，

x+4＝6－x，x＝1 或4+6－x＝x x＝5

综上所述：

说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。

例3. 设f（x）为定义在R上的偶函数，当x－1时，y＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y＝f（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。

解：（1）当x－1时，设f（x）＝x+b

∵射线过点（－2，0） 0＝－2+b即b＝2，f（x）＝x+2

（2）当－11时，设f（x）＝ax2+2

∵抛物线过点（－1，1），1＝a（－1）2+2，即a＝－1

f（x）＝－x2+2

（3）当x1时，f（x）＝－x+2

综上可知：f（x）＝ 作图由读者来完成。

例4. 求下列函数的定义域

（1） （2）

解：（1）

x4或x－1且x－3，即函数的定义域为（－，－3）（－3，－1）[4，+]

（2） ，则

0x2－3x－108，即

－3x＜－2或5＜x6即定义域为[－3，－2]（5，6）

说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。

变、已知函数f（x）的定义域为[－1，4]，求 的定义域。

解： ，则

又 ， 或

则 或 即为所求函数的定义域。

说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把 看成是由y＝f（u）、 两个函数复合而成的，因为－1u＜4，则 ，从而求出x的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。

例5. 若对于任何实数x，不等式： 恒成立，求实数a的取值范围。

解：令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去绝对值把f（x）表示成分段函数后为

5－3x x＜1

f（x）＝ 3－xx2

3x－5 x＞2

作出y＝f（x）的图象如图，由此可知f（x）的最小值为1，f（x）＞a对一切实数x恒成立，则a＜1。

说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。

例6. 求函数 的值域。

解：令 ，则13－4x＝t2

该二次函数的对称轴为t＝1，又t0由二次函数的性质可知y4，当且仅当t＝1即x＝3时等式成立，原函数的值域为（－，4）。

说明：对于所有形如 的函数，求值域时我们可以用换元法令

转化为关于t的二次函数在区间[0，+）上的最值来处理。这里要注意t0的范围不能少。如：已知f（x）的值域为 ，试求函数 的值域。该题我们只需要把f（x）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了。如求函数 的值域，若令 ，则x无法用t来表示。这里我们如果注意到x的取值范围：－22，则－11的话，我们就可以用三角换元：令 [0，]，问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时，要注意的限制条件，因为当取遍0到之间的每一个值时， 恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。

例7. 求下列函数的最值。

（1） （2）

解：（1）先求出函数的定义域：

－27，又在区间[－2，7]上函数 单调递增， 单调递增，所以 在定义域内也单调递增。

当x＝－2时， ；当x＝7时，

（2）∵ 0 y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：

y2＝x2（1－x2） ，又y， 。

说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。

例8. 设a＞0，x[－1，1]时函数y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。

解：

∵a＞0， ＜0，又定义域为[－1，1]

x＝1时 ，即－1－a+b＝－1 a－b＝0

下面分a的情形来讨论：

1当0＞ －1即0＜a2时，

当 时， 即 ，则

a2+4a－4＝0，

又a（0，2），则

2当 ＜－1，即a＞2时，当x＝－1时

－1+a+b＝1，a+b＝2 又a＝b a＝1 与a＞2矛盾，舍去

综上所述：x＝1时， ， 时 。

例9. 已知函数y＝f（x）＝ （a，b，cR，a0，b0）是奇函数，当x0时，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）

（1）试求函数f（x）的解析式；

（2）问函数f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由

解：（1）∵f（x）是奇函数，

f（－x）＝－f（x），即

c＝0，∵a0，b0，x0，f（x）＝ 2 ，

当且仅当x＝ 时等号成立，于是2 ＝2，a＝b2，

由f（1）＜ 得 ＜ 即 ＜ ，2b2－5b+2＜0，解得 ＜b＜2，又bN，b＝1，a＝1，f（x）＝x+

（2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的图象上，则

消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1

y＝f（x）的图象上存在两点（1+ ，2 ），（1－ ，－2 ）关于（1，0）对称

例10. 已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+）上是增函数，是否存在实数m，使f（cos2－3）+f（4m－2mcos）f（0）对所有［0， ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由

解：∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+）上是增函数，f（x）是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f（cos2－3）f（2mcos－4m），

即cos2－32mcos－4m，即cos2－mcos+2m－2

设t＝cos，则问题等价地转化为函数

g（t）?＝t2－mt+2m－2＝（t－ ）2－ +2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正

当 0，即m0时，g（0）＝2m－21与m0不符；

当01时，即02时，g（m）＝－ +2m－20

4－2 4+2 ，?4－2 2

当 1，即m2时，g（1）＝m－11 m2

综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m4－2

另法（仅限当m能够解出的情况）cos2－mcos+2m－20对于［0， ］恒成立，

等价于m（2－cos2）/（2－cos） 对于［0， ］恒成立

∵当［0， ］时，（2－cos2）/（2－cos） 4－2 ，

m4－2

例11. 设a为实数，记函数f（x）＝a 的最大值为g（a）。

（1）设t＝ ，求t的取值范围并把f（x）表示为t的函数m（t）；

（2）求g（a）；

（3）求满足g（a）＝g（ ）的所有实数a.

解：（1）∵t＝

要使t有意义，必须有1+x0且1－x0，即－11.

∵t2＝2+2 [2，4]，t ……①

t的取值范围是[ ，2]由①得 ＝ x2－1

m（t）＝a（ t2－１）＋t＝ at2+t－a， t[ ，2]

（2）由题意知g（a）即为函数m（t）＝ at2+t－a， t[ ，2]的最大值.

注意到直线t＝－ 是抛物线m（t）＝ at2+t－a的对称轴，分下列情况讨论.

当a0时，函数y＝m（t）， t[ ，2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由t＝－ 0知m（t）在[ ，2]上单调递增，

g（a）＝m（2）＝a+2.

当a＝0时，m（t）＝t， t[ ，2]， g（a）＝2.

当a0时，函数y＝m（t）， t[ ，2]的图像是开口向下的抛物线的一段，

若有t＝－ [0， ]，即a－ ，则g（a）＝m（ ）＝ .

若有t＝－ （ ，2），即a ，则g（a）＝m（－ ）＝－a－ .

若有t＝－[0， ]，即a ，则g（a）＝m（2）＝a+2.

综上有g（a）＝

（3）当a－ 时，g（a）＝a+2 ，

当 时，－a ，，所以 ，

g（a）＝ 2 ＝ .因此当a－ 时，g（a）.

当a0时， 0，由g（a）＝g（ ）知a+2＝ +2解得a＝1.

当a0时， ＝1，因此a－1或 －1，从而g（a）＝ 或g（ ）＝ .

要使g（a）＝g（ ），必须有a－ 或 － ，即－ －

此时g（a）＝ ＝g（ ）.

综上知，满足g（a）＝g（ ）的所有实数a为：－ － 或a＝1.

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